外尔有一句话特别值得注意：“虽然阿拉伯人对数字5进行了长期的摸索，但是他们当然不能在任何一个 有双重无限关联的装饰设计中，真正嵌入一个五重中心对称的图案。

然而，他们尝试了各种容易让人上当的折衷方案。我们可以这样说，他们通过实践证明了在饰物中 使用五边形是不可能的。”(pp.102-103)这一论述非常关键，阿拉伯装饰艺术的确时常费力地尝试使 用五次旋转对称。

连续装饰图案中嵌入五次对称图元的麻烦之处在于，五次对称要涉及黄金分割，安排下一个五边形 ，则周围需要作复杂的调整，这要比安排三角形、四边形和六边形的情况复杂得多。

《对称》还用相当篇幅讲晶体点阵的对称性，我当年学过结晶学和矿物学，知道这是相当复杂的事情， 现依稀记得32种单形和230种空间群的数字，具体内容已经想不清楚了。

外尔的处理当然并非想具体展示各种可能的晶格对称性，书中讨论得相当简略，这也给普通诸者阅 读造成了困难。要想真正搞明白230种空间群，还真要读地质学的图书《结晶学与矿物学》。

无论对于科学还是对于艺术，对称性都涉及不同的方面和不同的层次。不同方面指对称的多样性： 平移对称(连续装饰花纹、花布)、旋转对称(穹窿、五角星、伞、晶体)、左右对称性(建筑立面、 人体)及联合操作对称性(埃舍尔的《骑士图》，类似CP操作)。

不同方面还涉及局部与整体的关系，对称性有长程整体对称(如晶体)，也有局部短程对称(如准晶、 凯尔特装饰艺术)，这些在科学与艺术作品中都有许多实例。

雪花图案的对称

不同层次指对称性依赖于物质层次或者观念层次，在不同的层次上对称性可以很不相同，以人体为 例，外表是左右对称的，但内脏则不是，心脏通常靠近左侧，肾等还是对称的。

凯尔特艺术(Celticart)有很强的规则性，可以明显地发现少数基本结构在不同的层次上重复出现 ，不同层次的对称性与对称性破缺相互照应，细节丰富、层次分明，给予人以较强的装饰效果。

可以肯定地说，凯尔特艺术有意识地利用了伸缩变换不变性，即标度变换下的不变性，也就是自相似 对称性。特别有趣的是，在分形科学与艺术中，能够观察到各种对称性，既有不同方面的也有不同层次 的，通过复函数计算机迭代，非常容易地展示这些对称性。

看完了这些，你是否会赞同作者的观点呢?确实，对于我们自身来说，如果身体左右不对称，就会不平衡。可以说这是自然界的优胜劣汰结果。