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原文标题：岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读
（日本“中国古算书研究会”）
一、穀物配分算题
岳麓书院秦简《数》的图版已于2011年12月出版[1]，然而《数》的220余枚简的排列顺序至今尚不明确。《数》的整理者根据《九章算术》的结构，先将《数》的所有算题分爲租税类、面积类(方田类) 、穀物换算类(粟米类) 、衰分类、少广类、体积类(商功) 、赢不足类，然后按照《九章算术》各章的顺序进行了排列[2]。我们中国古算书研究会[以下称「研究会」] [3]亦暂且依此排序进行了释读。关于租税类，本研究会已发表了《岳麓书院藏秦简〈数〉译注稿(1)》[4],关于面积类(方田类)，已发表了《译注稿(2)》，关于穀物换算类(粟米类),已发表了《译注稿(3)》,关于衰分类, 已发表了《译注稿(4)》[5]。关于少广‧体积类(商功)将于明年2月份发表《译注稿(5)》[6]。
《数》的衰分类主要是涉及比例分配的算题，其中有几道算题如“数人各带来不同的穀物，混合所有穀物之后，将各自带来的穀物容积分别换算爲米体积，再按其米体积的比率将混合穀物分配给物主”(以下称这类算题爲「穀物分配算题」)。这类「穀物分配算题」在《算数书》[7]中有「米粟并」题，在《数》中也有两道，不过由于《数》的这类算题有缺文，所以其内容没能得到充分的理解，以致一直是作爲未解读简对待的。另外，在《数》中除了此二题之外还有一道算题也属于「穀物分配算题」，该题虽有设问及答案部分，但缺少术文部分，所以整理者根据《九章算术》的“返衰术”求得答案，并将其作爲已“解读”题。
「研究会」在解释此未解读二题时，注重了穀物换算[8](《数》、《算数书》、《九章算术》都曾涉及到穀物换算)。所谓穀物换算，即将不同的穀物[9]按照同一价值进行换算时，体积之比所发生的变化。《数》的「穀物分配算题」如同《算数书》「米粟并」题一样，先将几种不同穀物换算爲相同穀物(米，即“粝米”)，求得各自带来的穀物之间价值的比率，由此价值比率确定对穀物的分配。由于发现了这个术，我们终于成功地解读了两道未解读的算题。此术的计算法不但与《九章算术》的「返衰术」明显不同，而且比「返衰术」更爲简便。
除了《算数书》的一题‧《九章算术》的一题之外，《数》中也发现了三道算题，因此可以说这类「穀物分配算题」在古代中国是很普遍的算术问题。
本论拟先介绍《算数书》「米粟并」题的术，然后阐明《数》未解读二题的解读，最后叙述《数》、《算数书》与《九章算术》术之间所存在的差异。
二、《算数书》「米粟并」题
《算数书》【22】“米粟并”题是将米、粟的两种穀物混合之后，再将混合穀物分配给两位物主的算题。
米粟并。有米一石、粟一石，并提之。问米、粟[主]当各取几何。曰：米主取一石二斗十六分升＜斗＞八，粟主取七斗十六分升＜斗＞八。
术（术）曰：直（置）米十斗、六斗并以爲法，以二石扁（遍）乘所直（置），各自爲实。六斗者，粟之米数也。
[今译] 米求并。有米1石、粟1石。二者混杂时，问米和粟的物主各自应当提取多少？答曰：米主应当领取1石
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗，粟主应当领取
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗。术曰：将米10斗与6斗相加作爲法，以2石分别乘10斗和6斗，将其得数各自作爲实。6斗爲由粟（10斗）换算爲（相同价值）米的容积。
「米粟并」题先说:米及粟的物主各自带来1石(10斗)。“并提之”的意思大概是说将穀物混合之后各自提走。即将混合穀物20斗分配给米的物主及粟的物主。依据「米粟并」题的术文可知，其分配次序如下:
术文开头云:“直（置）米十斗、六斗”，各自带来的都是10斗，那“六斗”是什么意思呢?而且此“六斗”无非将粟10斗换算爲与其价值相等的米的体积。因爲在术文的末尾明确说:“六斗者，粟之米数也”，可见这是对于粟10斗进行换算的结果，即得到米6斗。此6斗就是与粟10斗价值相等之米的数量[10]。然后，再用这些米的体积比率将20斗按比例进行分配(以下称此术爲「米换算术」，称以「米换算术」解答的算题爲「米粟并类算题」)。
米10斗 ：粟10斗＝米10斗 ：米6斗＝10 ：6
从而能得到10 ：6的比率。以此比率10与6之和的16爲法，即术文云“直（置）米十斗、六斗并以爲法”。又将米、粟混合的2石(20斗)乘以10或6，各自爲实，即按照10 ：6的比率将20斗混合穀物分配给米的物主及粟的物主。即术文所云“以二石扁（遍）乘所直（置）各自爲实”。结果，米及粟的物主各自所应得的份额如下:
米的物主应得份额＝(20×10)÷(10+6) =
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=12
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
粟的物主应得份额＝(20×6)÷(10+6) =
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=7
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
此答案与「米粟并」题的答案一致。
如此，可知「米粟并」题中是使用「米换算术」对米、粟混合穀物进行分配的。其实，在《数》的三个算题中也是用「米换算术」进行分配的。
三、《数》衰分类的未解读算题(1)
《数》衰分类中有两道未解读的算题，其中一道(以下称算题[一])爲:
算题[一]
（一五五）曰：以粟爲六斗┗，米爲十斗┗，麦爲六斗大半[斗]／
（一五六）有（又）置粟六斗，米十斗，麦六斗大半斗，亦令各以一爲六，已。乃并粟、米、麦，凡卅斗，以物乘之。如法得一斗。不盈
（一五七）斗者以法命之。
算题[一]的设问及答案部分的简文已不存，仅残留有术文部分。（一五五）简上部“曰”字之前一字很可能是“术”字。在术文中虽然有“以粟爲六斗，米爲十斗，麦爲六斗大半[斗]”的文句，但是6斗、10斗与6
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读之和的22
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗与术文的“乃并粟、米、麦，凡卅斗”不合。这是至今此算题未能解读的主要原因。
关于算题[一]，《岳麓书院藏秦简(贰)》说:“此算题现存答案和术文部分，应属衰分类算题。”注释者恐怕是将“以粟爲六斗，米爲十斗，麦爲六斗大半斗”当作此算题的答案部分了[11]。
「研究会」则认爲（一五六）简的“置粟六斗，米十斗，麦六斗大半斗”一句与《算数书》「米粟并」题一样，这句话表示的是将不同穀物换算成相同价值之米的结果。试证明如下：
在《数》粟米类的算题中有几个公式是将粟换算爲米或将麦换算爲米的:
（八四） 以麦求米，三母倍实
（八五） 以粟求米，五母三实
(八四)简意爲:假设将麦换算爲与其麦相同价值的米的话，其容积爲原来的
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读，(八五)简意爲:假设将粟换算爲与其粟相同价值的米的话，其容积爲原来的
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读[12]。据此可知， 算题[一]中“以粟爲六斗”、“米爲十斗”、“麦爲六斗大半斗”分别为“以粟(十斗)爲六斗”和“米(十斗)爲十斗”及“麦(十斗)爲六斗大半斗”的省略，其意爲“粟10斗换算爲米6斗”、“米10斗爲米10斗”、“麦10斗换算爲米6
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗”(应该注意的是每种穀物都可以换算爲“米”)。在此有两个证据：第一，《算数书》「米粟并」题也与此算题一样，将粟10斗换算爲米6斗；第二，本题各自带来的粟10斗、米10斗、麦10斗的总和是30斗，与本题术文中“乃并粟、米、麦，凡卅斗”的一句吻合。
综上所述，算题[一]的计算可概括为:
粟10斗＝10×
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗＝米6斗
麦10斗＝10×
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗＝
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗＝米6
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
总之， 算题[一]的意思是:三人各自带来粟10斗、米10斗、麦10斗，将三种穀物混合之后，按照换算爲米的6斗 ：10斗 ：6
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗之比率再分配给三人。这里用的术即上述的「米换算术」。
《数》有另外一道算题(一三七＋一三八)也属于「米粟并类算题」，其设问部分与从算题[一]术文推测出的设问部分非常类似。但是，与算题[一] 所不同的是，在此算题中残存有设问及答案部分，所以可以视爲已“解读”的算题。(本文称此算题爲算题[二])。
算题[二](①设问部分， ②答案部分)
① 一人负米十斗，一人负粟十斗，[一人]负食十斗。并裹而分之，米、粟、食各取几可（何）？
② 曰：米取十四斗七分斗二┗，粟[取]八斗七分[斗] ／四，食取七斗七分[斗]一。
食二斗当米一斗。
算题[二]意爲:三人各自带来米10斗、粟10斗、食10斗，三者混合爲30斗，按照米10斗、粟10斗、食10斗的价值进行比例分配。“食”爲何物不明，大体是穀物的一种吧。因算题[二]没有术文，此题的解法不明，但从“食二斗当米一斗”一句可知与算题[一]及《算数书》「米粟并」题一样，算题[二]也是将粟10斗及食10斗换算爲相同价值之米的。将食换算爲相同价值的米时，其容积爲
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读，因而食10斗爲米5斗。与算题[一]及《算数书》「米粟并」题一样，粟10斗爲米6斗。所以用的也是「米换算术」。将米、粟、食换算爲米，能求得比率如下:
米10斗 ：粟10斗 ：食10斗＝米10斗 ：米6斗 ：米5斗＝10 ：6 ：5
按此比率将米、粟、食各10斗混合的30斗分配给三人:
米的物主应得份额＝(30×10)÷(10+6+5)＝
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读＝
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=14
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
粟的物主应得份额＝(30×6)÷(10+6+5)＝
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=8
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
食的物主应得份额＝(30×5)÷(10+6+5)＝
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=7
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
这些答案都与算题[二]的答案一致。虽然算题[二]的术文已不存，但如要予以复原的话，根据算题[一]的术文，其简文很可能是:
术曰：以米爲十斗，粟爲六斗，食爲五斗。又置米十斗，粟六斗，食五斗，已。乃并米、粟、食，凡卅斗。以物乘之。如法得一斗。不盈斗者以法命之。
《岳麓书院藏秦简(贰)》算题[二]的注释者虽然也给出了与此几乎同样的计算公式，可是他们说:此题应属于衰分大类中的反衰类问题。它与《九章算术》「衰分」章的「今有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。欲令合而分之，问各几何?」是完全同型的问题，方法也应是同种方法。他们断定算题[二]是用《九章算术》的返衰术来进行计算的。「研究会」虽然也承认算题[二]的设问与《九章算术》的算题完全相同，但认爲将算题[二]解释爲返衰术的计算是完全没有根据的。如果认爲这里使用了「米换算术」进行计算并解答问题的话，则是非常自然的。
在此，让我们回到算题[一]。由于算题[一]缺少术文前面的简文(即设问及答案部分)，所以其内容也难以理解。但是，由于算题[一]与算题[二]都属于「米粟并类算题」，所以依照算题[二]可以将算题[一]的全文复原如下:
算题[一]的复原案(①设问 ②答案 ③术文)
① 一人负粟十斗，一人负米十斗，一人负麦十斗。并裹而分之，粟、米、麦各取几何？
② 曰：粟取七斗又十七分斗十六，米取十三斗又十七分斗四，麦取八斗又十七分斗十四。
③ 术曰：以粟爲六斗，米爲十斗，麦爲六斗大半斗。有（又）置粟六斗，米十斗，麦六斗大半斗，亦令各以一爲六，已。乃并粟、米、麦，凡卅斗。以物乘之。如法得一斗。不盈斗者以法命之。
算题[一]的内容是:三人各自带来米10斗、粟10斗、麦10斗，将每种穀物各换算爲相同价值的米即“以粟爲六斗，米爲十斗，麦爲六斗大半斗”。总之，算题[一]与《算数书》「米粟并」题同样，也使用了「米换算术」。下面一句“亦令各以一爲六”，就是说:将粟、米、麦的比率各乘以6，这是爲了将麦「六斗大半斗」的分数化爲整数。不乘以3而乘以6，在《算数书》少广题[13]有“下有三分，以一爲六”一句，也许是类似的情况吧。《数》少广题中虽未发现“下有三分，以一爲六”的文字，却多有“下有四分”一类的表达。
粟10斗 ：米10斗 ：麦10斗＝米6斗 ：米10斗 ：米6
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
= 6×6 ：10×6 ：6
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读×6 = 36 ：60 ：40 = 9 ：15 ：10
下面的“已”字是说:求得此比率之后，以这三个比率之和爲法。将粟、米、麦各10斗混合为30斗，即“乃并粟、米、麦，凡卅斗”。于是，按照已得的比率进行比例分配。所谓“以物乘之”是说：将混合穀物30斗乘以每个比率。“物”可能是指粟、米、麦的每个「比率之数」[14]。“如法得一斗”是将30斗乘以每个「比率之数」，再以所得数除以法(比率的合计)。
“以物乘之。如法得一斗”一句虽然与「米粟并」题的表现方式颇有不同，但从以上分析可知，二者的计算次序完全一致。从而，粟、米、麦的各物主应得份额的计算如下:
粟的物主应得份额=(30×9)÷(9+15+10)=
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=7
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
米的物主应得份额=(30×15)÷(9+15+10)=
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=13
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
麦的物主应得份额=(30×10)÷(9+15+10)=
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=8
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
这就是算题[一]的答案，正与上述复原文②相当。
构成一个算题，须具备①设问②答案③术文等三个要素。算题[一]没有①及②，算题[二]没有③，虽然都不完整，但是可以互相补充，从而恢复原文。
两者相互对照可知，算题[一]是粟、米、麦的分配问题，算题[二]是米、粟、食的分配问题，只不过在后者中“食”代替了前者的“麦”。可见，两者都属于「米粟并类算题」。进而可以断定在算题[二]中用的术也应是「米换算术」。因此，可知《岳麓书院藏秦简(贰)》注释者认爲此算题使用了《九章算术》返衰术的观点是不可取的。
四、《数》衰分类的未解读算题(2)
在《数》衰分类之中，还有下面一道未解读算题(以下称算题[三]):
算题[三]
（一五四）／米、粟且各得几可（何）？曰：米取三斗有（又）廿七分升＜斗＞廿四┗，粟取三斗有（又）廿七分升＜斗＞三。
算题[三]仅残存有设问部分的末尾及答案部分，而且注释者对此未做任何解释[15]。
我们先从设问部分加以研讨。首先，从算题[三]的残存部分及复原后的算题[一][二]进行类推，假定算题[三]的内容爲:米及粟的物主先带来粟、米多少斗，然后将混合穀物用「米换算术」进行分配。此算题的答案部分有“米取三斗有（又）廿七分升＜斗＞廿四，粟取三斗有（又）廿七分升＜斗＞三”的内容，所以两者之和爲3
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读＋3
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读＝7，由此计算可以看出两个事实：(1)将带来的米及粟合爲7斗。(2)对两位物主进行分配的比率爲3
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读 ：3
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读＝
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读 ：
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读＝105 ：84＝5 ：4。即按此比率将7斗分配给物主。
在这里，假设物主各带来的是米x斗与粟(7－x)斗。将粟(7－x)换算爲米时，由于其容积爲
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读，所以粟(7－x)斗相当于米(7－
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读)×
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗。因爲分配比率是5 ：4，结果，可得以下的比例式:
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读：(7－
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读)×
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读＝5 ：4
从这个比例式得到计算式
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读×4＝(7－
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读)×
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读×5，对这个计算式求解，即能求得米容积
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读＝3斗。粟容积爲7－3＝4斗，因而可知，米的物主带来的是3斗，粟的物主带来的是4斗。从以上的计算过程中，我们可以断定:算题[三]的设问内容是:将带来的米3斗及粟4斗混合之后，按照换算爲米的比率分配给两个物主。因而算题[三]也属于「米粟并类算题」。
下面，让我们讨论一下算题[三]的术。与算题[一][二]一样， 将算题[三]的粟4斗换算为米的话，即
粟4斗＝米4×
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗＝米
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗＝米2
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
得米2
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗。因而米3斗与粟4斗的价值比率爲3 ：2
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读。比率值中有分数，所以将两者同乘以5，将比率化爲整数。
米3斗 ：粟4斗＝米3斗×5 ：米2
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗×5=15 ：12
15 ：12的比率虽然可以化简爲5 ：4，但依照《算数书》【23】「粟米并」题的做法，这里我们依然使用15 ：12的比率进行计算。
粟米并。米一、粟二，凡十斗。精之，爲七斗三分升＜斗＞一。术(术)曰：皆五，米粟并爲法。五米，三粟。以十斗乘之爲实。
[今译]
粟米并。米与粟爲1 ：2，合计10斗。将其精白（舂得米）合计
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗。术曰：米1、粟2各自乘5倍之后的得数（15），相加作为法。米1乘以5倍，粟2乘3倍(相加为11)，以10斗乘11的得数作为实。
「粟米并」题假设将原来的粟、米的体积各扩大5倍的话，换算爲米时，米乘以5倍，粟乘以3倍。即当时求解米粟的换算问题时，一般使用“五米、三粟(米乘以5，粟乘以3)”的计算法。算题[三]也一样，将米3斗乘以5，得15，将粟4斗乘以3，得12，从而通过上述的计算，即可得到米3斗及粟4斗的米价值比率15 ：12。当时对15 ：12的比率并不化简为5 ：4，仍使用15 ：12。
使用此比率对混合米、粟的7斗进行分配，米、粟各物主应得的份额爲:
米的物主应得的份额=(7×15)÷(15+12) =
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=3
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
粟的物主应得的份额=(7×12)÷(15+12) =
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=3
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
这样的答案与算题[三]的答案以及保留分数不做约分的方法是一致的。
基于以上的论证，算题[三]可复原如下:
算题[三]的复原案(①设问 ②答案 ③术文)
① 一人负米三斗，一人负粟四斗。并裹而分之，米、粟且各得几可（何）。
② 曰：米取三斗有（又）廿七分斗廿四，粟取三斗有（又）廿七分斗三。
③ 术曰：（以米三斗爲三斗），粟四斗爲二斗五分斗二。又置米三斗，粟二斗五分斗二，亦令各以一爲五，已。乃并米、粟，凡七斗，以物乘之。如法得一斗。不盈斗者以法命之。
算题[三]有一个特点:与算题[一][二]和「米粟并」题以及《九章算术》衰分章的算题不同，两位物主带来的穀物的体积各自不同。因而，严格地说算题[三]不属于「米粟并类算题」，不过算题[三]的内容也是「穀物分配算题」，而且解答问题时也使用了「米换算术」。所以归根到底，算题[三]仍可以视为属于「米粟并类算题」。算题[三]虽然也可能是使用《九章算术》返衰术进行解答的，但正如下一节所说明的那样，其计算是相当複杂的。
五、《九章算术》的返衰术
如上所述，《九章算术》衰分章有以下「穀物分配算题」一题:
今有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。欲令合而分之，问各几何。答曰：甲二升一十分升之七，乙四升一十分升之五，丙一升一十分升之八。
术曰：以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五爲衰，而返衰之、副并爲法。以九升乘未并者各自爲实。实如法得一升。
[今译]
现在甲持粟3升，乙持粝米3升，丙持粝饭3升。欲将所持物混合之后对甲、乙、丙另行分配。问：各自分得多少？答曰：甲2
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升，乙4
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升，丙1
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升。
术曰：以粟率50、粝米率30、粝饭率75爲衰，而对此做返衰，另以各率之和爲法。以9升乘以未混合的返衰的各数，各自爲实。以法除实可得以升爲单位的答案。
此算题意爲:三人带来同体积的不同穀物，再按照各自所持穀物价值进行分配。此算题的内容虽属于「米粟并类算题」，但其使用的术却是完全不同的。
《九章算术》里使用的术爲「返衰术」[16]计算法。
首先设定粟50、粝30、粝饭75的各自比率[17]。这些比率在相同价值之下，各穀物之间的体积比率叫做“衰”。其次，给出它们的逆数(
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读，
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读，
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读)，这叫做“返衰”，将这些返衰的数值先化爲整数值，然后再用这些整数的比率做比例计算，即「返衰术」。此过程可图示如下:
粟3升
粝米3升
粝饭3升
① 衰（穀物间的率）
50
30
75
② 返衰（置①的逆数）
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读
③ 将②的分母用50×30×75通分之后，去掉分子
30×75
50×75
50×30
③ 将③的各比率化简
3
5
2
⑤ 将粟、粝米、粝饭混合之9升按④的比率进行比例配分
(9×3)÷(3+5+2)
＝
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读＝2
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升
(9×5)÷(3+5+2)
＝
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读＝4
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升
(9×2)÷(3+5+2)
＝
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读＝1
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升
除了是否进行分数的约分以外，此术与「米换算术」在①－③次序上是不同的。
此返衰术的缺点在于，得到3 ：5 ：2的比率之前的计算过程(①－④)过于繁杂。另外，如果所携带的穀物在量上有所不同的话，计算就更加複杂。作爲例证，我们试以返衰术对算题[三]做出解答的话，其次序如下表所示:
米3斗
粟4斗
① 衰（穀物间的率）
30
50
② 返衰（置①的逆数）
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读
③ 将②的分母用50×30×75通分之后，去掉分子
50
30
④ 将③的各比率做简约
5
3
⑤ 对④的各率乘以米、粟的斗数（得「包括斗数在内」的比率）
5×3斗=15
3×4斗=12
⑥ 将米、粟混合的7斗用⑤的比率做比例分配
(7×15)÷(15+12)
=
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=3
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
(7×12)÷(15+12)
=
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=3
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读斗
由上表可见，计算过程至④纔能得到米3斗及粟4斗的换算比率的5 ：3。
算题[三]中，由于欲将米3斗与粟4斗一类不同量穀物混合之后进行分配，而无法对混合穀物的7斗按照5 ：3的比率进行分配。所以在分配之前，须先求得「含斗数」的比率，然后可以按照此比率进行比例分配。就是説在上表的⑤中，先得将④的米率5乘以米斗数3得15，然后将④的粟率3乘以粟斗数4得12，于是得到15 ：12的比率，进而按此比率对7斗进行分配 (即⑥所表示的计算)。关于⑥的计算，与「米换算术」是完全一样的。
粟及米的换算是《数》粟米类题的基本问题，所以同等量的米及粟的价值比率为5 ：3这一点，如上述《算数书》「粟米并」题亦存在此比率那样，看来这是个被普遍认同的事实。如果是这样的话，《岳麓书院藏秦简(贰)》注释中所说的这里使用了返衰术求5 ：3之比率的观点就很难想象了。
因此，返衰术与「米换算术」的差异在于求比率的方法是不同的。比较两术可知，在求比率的过程上，「米换算术」比返衰术简单得多。
值得指出的是，如果所要分配的穀物种类更多，而且各自穀物的份量不一样的话，用返衰术求比率的计算将会更加複杂。
最后，让我们尝试一下， 用「米换算术」对《九章算术》的算题做出解答。
先将三人带来的「粟三升、粝米三升、粝饭三升」各自换算爲与之价值相等的米(粝米不需换算)。
粟3升＝3×
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升＝
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升＝粝米1
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升，粝饭3升＝3×
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升＝
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升＝粝米1
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升
因而它们的比率爲1
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读：3：1
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读，由于分母中有5，所以将算式全体乘以5，可得比率如下:
1
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读×5 ：3×5 ：1
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读×5＝9 ：15 ：6 (＝3 ：5 ：2)
虽然9 ：15 ：6的比率可以约分爲3 ：5 ：2，但在计算上仍旧用9 ：15 ：6比率。按照这一比率对9斗进行分配，就得到各物主应得的份额:
粟的物主应得份额=(9×9)÷(9+15+6) =
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=2
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升
粝米的物主应得份额=(9×15)÷(9+15+6) =
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=4
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升
粝饭的物主应得份额=(9×6)÷(9+15+6) =
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读=1
岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读升。
进而对这些答案的分数部分以3做约分，就得到《九章算术》的答案。
如此可知，先将各种穀物换算爲米的「米换算术」比返衰术简单得多。不过，在后代成书的《九章算术》中，「米换算术」被返衰术取代了。其中的原因究竟如何，尚有待今后的继续研讨。
附记：这编论文的日文版发表在大阪产业大学论集人文・社会科学编18(2013年6月)。
（编者按：本文收稿时间爲2013年11月19日15：25。）
[1]《数》 是以朱汉民、陈松长主编『岳麓书院蔵秦简（贰）』（上海辞书出版社、2011年12月）形式出版的。
[2]参见『岳麓书院蔵秦简（贰）』序言。
[3]中国古算书研究会的构成员: 张替俊夫（代表）、大川俊隆、小寺裕、角谷常子、武田时昌、田村三郎、田村诚、马场理惠子、马彪、吉村昌之。
[4]大川俊隆「岳麓书院蔵秦简『数』译注稿(1)」,(大阪産业大学论集人文・社会科学编16(2012年10月))。
[5]田村诚「岳麓书院蔵秦简『数』译注稿(2)」马场理惠子、吉村昌之「岳麓书院蔵秦简『数』訳注稿(3)」,角谷常子「岳麓书院蔵秦简『数』訳注稿(4)」,(大阪産业大学论集人文・社会科学编17-19(2013年2月-10月))。
[6]小寺裕‧张替俊夫「岳麓书院蔵秦简『数』訳注稿(5)」预定明年2月发表。
[7]关于《算数书》，参见张家山汉简《算数书》研究会编《汉简『算数书』－中国最古の数学书》。本文引用《算数书》算题时使用了本书的算题号码。
[8]关于穀物换算计算，参见注6所引用论文页31揭载的「穀物换算表」。
[9]米及粟本是同一穀物，只不过是碾米程度不同，但本论里把它们当作异种穀物。
[10]《算数书》【18】粟求米题讲述了将粟容积换算爲与其价值相等之米容积的方法。「粟求米，三之，五而一」，即将粟容积扩大3倍，然后除以5，就得到米容积。
[11]关于算题[一]， 『岳麓书院蔵秦简（贰）』除此注以外，没有其他的说明。
[12]《九章算术》粟米章开头：“粟率五十，粝米三十，‧‧‧，菽、荅、麻、麦各四十五”，这些数字表示了相同价值的粟、粝米、菽等的容积比。
[13]关于《算数书》「少广」题，参见注7所引书的p1。
[14]《国语·周语上》云“王曰： 虢其几何？对曰：昔尧临民以五。今其胄见。神之见也，不过其物」。韦注云“物，数也。”
[15]关于算题[三]， 『岳麓书院蔵秦简（贰）』未做任何注释。
[16]关于「返衰术」,参照角谷常子、张替俊夫「『九章算术』译注稿(7)」(大阪産业大学论集人文・社会科学编8(2010年2月))注(25)。
[17]参看注12。 (责任编辑：admin)
原文出处：http://his.newdu.com/a/201711/05/513419.html
以上是关于岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读的介绍，希望对想了解历史故事的朋友们有所帮助。