而从黎曼的函数中得出来的推论也有不少。其中一个便是其函数在(0，1)内的所有无理点处处都有连续，反过来，所有的有理点处处都不连续。另外一个推论则是，该函数在区间[0，1]上是黎曼可积的。从其中也衍生出很多数学上的思索。

黎曼的函数关于无理点、有理点、连续以及不连续的说法，现在也是数学家们研究的对象。后来，还有尼日利亚的数学家对其函数进行过论证，但是并没有得到明确的证明。

黎曼的成就

黎曼大家都非常熟悉，在数学分析上，我们会学到很多关于黎曼的定理，黎曼的一生当中，可以说是研究成果非常丰富的，他出生在一个传统的牧师家庭，最初是按照父亲的意愿去学习神学，但是由于兴趣使然，后来黎曼转专业开始后研究数学。

黎曼图片

黎曼的成就在数学可以很清楚的看出来，最开始在老师狄利克雷的指导下，他论证了复变函数可导的充分条件，这是黎曼敲开了数学研究的第一块砖，而从此，黎曼开始在微分几何的相关研究上不断取得全新的进展，他也首次提出了黎曼空间的概念，把当时时代上已知的欧式和非欧式几何通通都归到了黎曼空间的范畴之中。

在贝塔函数上，黎曼的成就也非常大，他在当时他的一篇论文中第一次提到了黎曼曲面，这也是一个非常重要的发现，而把贝塔函数和贝塔积分作为一个全新的研究对象，在当时的数学史上，更是一个转折点，这样的观念对于现代代数拓扑的发展也极为重要。而在黎曼这些研究的指导下，罗赫做了一定的补充，形成了后来非常著名的黎曼罗赫定理。

虽然在数学上的研究上，黎曼可以说是功不可没，但是长时间高强度的脑力劳动对于黎曼的健康影响非常大，他在晚年的健康状况非常糟糕，并且几乎没有办法继续工作，在一次去意大利的有氧过程中，因为肺结核感染，黎曼去世了，而伴随着他的去世我们失去了一位成就卓越的数学家，但是他对于数学研究所做出来的那些贡献却伴随着现代人。

黎曼猜想

作为历史上伟大的数学家，黎曼给后人留下印象最为深刻的估计就要属黎曼猜想了。1859年，当时的黎曼刚好被选为了柏林科学院地位不一般的通信院士，而作为对这一至高荣誉的回报，当年，黎曼向学院提交了一篇论文，而这篇论文，正好成为知名的黎曼猜想的来源。

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说起黎曼的这一数学史上有名的猜想，相信很多人都不会陌生。黎曼本人提出，黎曼ζ函数的所有非平凡的零点分布都有着一定的规律，均分布在复平面上的直线上，同时，他还提出了一个结论，也就是方程ζ(s)=0的解其实部全部都是1/2。而这一猜想的提出，当时立即引起了人们高度的重视，同时也在学术界产生了非常大的影响。后来，不断在数学家大会上被提起，同时还被认为是当时数学问题的代表之一。

时隔一个半世纪之后，人们对于黎曼这一猜想的论证一直没有停止。但是，虽然有消息说来自尼日利亚的教授成功将这一问题解决了，但是却是既没有得到权威机构的否定也没有得到证实。如今，黎曼的这一猜想仍然可以说是数学上比较重要的猜想，同时也是著名的数学难题，不管怎么说，都为数学的丰富和发展做出了很大的贡献。

但现在为止，人们有的人说黎曼的这一猜想其实跳出手稿来看很容易证明其真实性，还有的人说仍然没有得到论证，但黎曼在数学历史上的地位是不一般的。