白居易给元徽之写的诗是《赋得双燕归来歌》。这首诗是白居易在元徽之离开洛阳之后，怀念他的好友而作。诗中描绘了元徽之离开洛阳时的情景和他的归来，表达了白居易对友谊的珍视和思念之情。

诗中描述了元徽之离开洛阳的场景。白居易写道：“双燕东西飞，洛阳归故乡。离别青楼恨，相思白日长。”这里描绘了双燕在天空中飞翔的景象，象征着元徽之的离去。白居易在离别时感到了对青楼的留恋和相思之情，同时也表达了对友谊的深深怀念。

诗中描绘了元徽之归来的情景。白居易写道：“昔时同嬉笑，今日各东西。临行无限泪，回首有余悲。”这里描述了白居易和元徽之在洛阳时的欢乐时光，而如今却各自东西离别。白居易在元徽之离开时流下了无尽的眼泪，回首望着元徽之的背影，心中充满了悲伤之情。

诗中抒发了白居易对友谊的真挚感情。白居易写道：“相期复何年，沧海变桑田。知君犹未老，愿作鬓毛斑。”这里表达了白居易对与元徽之再次相聚的期盼，即使岁月变迁，他们的友谊依然不会改变。白居易希望元徽之能够长寿健康，即使鬓发斑白，他们的友谊也将不会减退。

白居易给元徽之写的诗《赋得双燕归来歌》真实可考证，通过描绘元徽之的离去和归来，以及表达对友谊的思念和珍视，展现了白居易对友谊的深情厚意。这首诗具有真实性和感人性，反映了白居易对友谊的真挚追思之情。